解析学とかいう分野

久しぶりにブログを書こうと思うのですが, どうにも書く事がなかったので解析についてダラダラ話そうかなと思います.

考えてみれば大学に入って初めに出会う数学として解析学があるんですね. 微分積分というやつです. そもそも解析学という分野が始まったのはこの微分積分が発端でした.

大学の微分積分で最初に頭を抱えるであろうε-δ, あるいはε-N論法がありますが, こいつらには僕も頭を何度抱えたかわかりません. 僕が思うにこの定義でつまづくのは言ってることとやってることが噛み合ってないからなのかなーと思います.

まぁ一応定義を確認しておくと次のような感じです.

数列の極限

数列\(\{a_n\}\)がある実数\(\alpha\)に収束するとは\[\forall\varepsilon>0,\ \exists N\in\mathbb{N};\ n\geq N\Rightarrow |a_n-\alpha|<\varepsilon\]が成り立つことである.

数列の極限の定義はこんな感じなのですが, これが成り立つとき\(n\)を限りなく大きくしたとき\(\alpha\)に限りなく近づくって表現をするですが, これをそのまま定義にしてしまうとアキレスの亀的なことを言われてしまうわけです.

つまりどういうことかというと, \(n\)を大きくしたらその値との誤差が小さくなるだろうというと,でも一生その値とは一致しないじゃないかと言われてしまうわけです.

なので先にもう誤差を決めてしまうんです.誤差を決めてしまってしまえば\(n\)をでっかくとればほら誤差の範囲に収まるだろうと言えて文句を言われないわけですね.でもやってることと言ってることが逆なのでどうも直感的理解が難しいのではないかなというのが個人的な意見です.

まぁこんなようなややこしい定義ではありますが, この極限を扱う学問が解析学といわれるものです.これがないと解析とは言えないのです.

そんな解析学ですが, 解析で重要なのは極限の定義にも登場する不等式です.解析学は不等式の学問といっても差し支えないかもしれません.一冊不等式の話だけがまとまった本もあるくらいです.

解析学ではいろんな不等式を使いますが, 僕たち解析学の舞台設定で最も重要なのは三角不等式です.それは次の定義を見てもらえればわかります.

数列の極限

\(V\)をベクトル空間とする.このとき, \(\|\cdot\|\colon V\to\mathbb{R}\)がノルムであるとは, 以下を満たすことである：

\((1)\ \|x\|\geq 0\)かつ, \(\|x\|=0\Rightarrow x=0\)

\((2)\ \|\alpha x\|=|\alpha|\|x\|\quad (\alpha\in\mathbb{C})\)

\((3)\ \|x+y\|\leq\|x\|+\|y\|\quad \)(三角不等式)

ノルムが定義されるようなベクトル空間をノルムベクトル空間という.

と、このようにノルムとは絶対値の一般化なのですが,その定義の中に三角不等式が入ってるわけです.微分積分学では大抵実数値での収束で終わるわけですが, 一般の解析ではこのようにノルムが定義された空間でそのノルムについての極限を操り議論していくのです.

と具体的な話は全く出来てませんが取り合えず今回は終わります.気力があればもうちょっと難しいことしたいです.